Zahlensysteme-Tabelle: Dezimal, Binär, Hexadezimal und Oktal

So liest Du die Tabelle

Jede Zeile zeigt dieselbe Zahl in vier Schreibweisen. Die Binärzahl ist auf acht Stellen aufgefüllt, weil ein Byte acht Bit hat; führende Nullen ändern den Wert nicht. Ein Beispiel: 200 ist binär 11001000, hexadezimal C8 und oktal 310.

Die Systeme unterscheiden sich nur in ihrer Basis, also in der Zahl der Ziffern. Das Dezimalsystem hat zehn (0–9), das Binärsystem zwei (0 und 1), das Oktalsystem acht (0–7) und das Hexadezimalsystem sechzehn: Nach der 9 folgen A bis F für die Werte 10 bis 15. Der Wert einer Stelle ist die Basis hoch ihrer Position, gezählt von rechts ab 0.

Dezimal in Binär umrechnen

Teile die Zahl immer wieder durch 2 und notiere jeweils den Rest. Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben die Binärzahl. Für 45:

45 : 2 = 22 Rest 1 · 22 : 2 = 11 Rest 0 · 11 : 2 = 5 Rest 1 · 5 : 2 = 2 Rest 1 · 2 : 2 = 1 Rest 0 · 1 : 2 = 0 Rest 1

Von unten gelesen ergibt das 101101. Zur Probe addierst Du die Stellenwerte, die von rechts nach links jeweils doppelt so groß werden (1, 2, 4, 8, 16, 32): 32 + 8 + 4 + 1 = 45. Nach demselben Muster rechnest Du in jedes andere System um – für Oktal teilst Du durch 8, für Hexadezimal durch 16.

Abkürzung: Vierergruppen für Hex, Dreiergruppen für Oktal

Weil 16 = 2⁴ ist, steht jede Hexadezimalziffer für genau vier Bit. Teile eine Binärzahl von rechts in Vierergruppen und übersetze jede Gruppe einzeln: 1011 0110 wird zu B (11) und 6, also B6. Für Oktal nimmst Du Dreiergruppen, weil 8 = 2³ ist: 10 110 110 ergibt 2, 6, 6, also 266. Beide stehen für die Dezimalzahl 182.

Umgekehrt geht es genauso schnell: Aus hexadezimal 2F wird 0010 1111. Den Dezimalwert erhältst Du über die Stellenwerte: 2 × 16 + 15 = 47.

Wo Dir die Zahlensysteme begegnen

• Farben im Web: #FF8800 steht für Rot 255, Grün 136 und Blau 0 – je ein Byte als zweistellige Hexzahl.
• Dateirechte unter Linux: chmod 755 ist oktal. Die Ziffern gelten für Besitzer, Gruppe und alle anderen und fassen je drei Bit zusammen: 7 = 111 (lesen, schreiben, ausführen), 5 = 101 (lesen, ausführen).
• Programmcode: Präfixe kennzeichnen das System, etwa 0b101101 für binär, 0x2F für hexadezimal und 0o55 für oktal – so in Python, JavaScript und seit Version 8.1 auch in PHP. Eine führende Null wie in 055 bedeutet in C und PHP ebenfalls oktal.
• Netzwerk: Eine IPv4-Adresse besteht aus vier Bytes, deshalb reicht jeder Block von 0 bis 255. IPv6-Adressen werden hexadezimal geschrieben.

Zweierpotenzen, Datentypen und das Jahr-2038-Problem

Mit n Bit lassen sich 2ⁿ Werte darstellen: 8 Bit ergeben 256, 16 Bit 65.536 und 32 Bit 4.294.967.296. Ganzzahlen mit Vorzeichen teilen diesen Bereich in zwei Hälften, eine 32-Bit-Zahl reicht deshalb nur bis 2.147.483.647. Negative Zahlen speichern Computer meist im Zweierkomplement: Das Byte 11111111 steht dann für −1 statt für 255.

An der 32-Bit-Grenze hängt das Jahr-2038-Problem: Systeme, die die Sekunden seit dem 1. Januar 1970 als vorzeichenbehaftete 32-Bit-Zahl speichern, laufen am 19.01.2038, 03:14:07 Uhr UTC über. Die Potenzen 2¹⁰, 2²⁰ und 2³⁰ sind außerdem die Grundlage der Binärpräfixe Ki, Mi und Gi – was das für Kilobyte und Kibibyte bedeutet, zeigt die Dateigrößen-Tabelle.