Quadratzahlen-Tabelle: Quadrat, Kubik und Wurzel von 1 bis 100

So liest Du die Quadratzahlen-Tabelle

In der ersten Spalte steht die Zahl n, daneben ihr Quadrat (n hoch 2) und ihre Kubikzahl (n hoch 3). Die beiden rechten Spalten gehen den umgekehrten Weg: √n ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen n ergibt (x × x = n), ∛n die Zahl, die dreimal als Faktor n ergibt (x × x × x = n). Beispiel: √50 ≈ 7,0711, denn 7,0711² ≈ 50,0005.

Die meisten Wurzeln sind unendlich lange, nicht periodische Dezimalzahlen und deshalb gerundet. Nur bei Quadrat- und Kubikzahlen geht die Wurzel glatt auf – diese Zellen sind hervorgehoben.

Muster in den Quadratzahlen

Quadratzahlen enden nur auf die Ziffern 0, 1, 4, 5, 6, 9. Endet eine Zahl auf 2, 3, 7 oder 8, ist sie also keine Quadratzahl – ein schneller Test.

Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist immer eine ungerade Zahl: 1, 4, 9, 16, 25 haben die Abstände 3, 5, 7, 9. Daraus folgt eine schöne Regel: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n². So ist 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4². Allgemein gilt:

(n + 1)² = n² + 2n + 1

Quadratzahlen im Kopf rechnen

Für Zahlen mit Endziffer 5 gibt es einen Trick: Nimm die Zehnerziffer mal ihren Nachfolger und häng 25 an. Für 35² rechnest Du 3 × 4 = 12 und erhältst 1.225. Die Tabelle oben zeigt das für alle Fünferzahlen bis 95.

Bei anderen Zahlen hilft die binomische Formel. Zerlege die Zahl in einen runden Teil und einen Rest:

• 41² = 40² + 2 × 40 + 1 = 1.600 + 80 + 1 = 1.681
• 99² = 100² − 2 × 100 + 1 = 10.000 − 200 + 1 = 9.801

Die Quadratzahlen bis 10 × 10 stehen übrigens auf der Diagonale der Einmaleins-Tabelle.

Wurzeln schätzen ohne Taschenrechner

Jede Wurzel liegt zwischen den Wurzeln der benachbarten Quadratzahlen. √70 liegt zwischen √64 = 8 und √81 = 9, und zwar näher an 8, weil 70 näher an 64 liegt. Tatsächlich ist √70 ≈ 8,3666.

Bekannte Werte lohnen sich zum Merken: √2 ≈ 1,4142 (Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 1) und √3 ≈ 1,7321. Beide sind irrational: Ihre Nachkommastellen enden nie und wiederholen sich nicht.

Kubikzahlen und Kubikwurzel

Eine Kubikzahl ist das Volumen eines Würfels: Ein Würfel mit 4 cm Kantenlänge fasst 4³ = 64 cm³. Weil beim Volumen drei Längen malgenommen werden, wächst die Kubikzahl viel schneller als das Quadrat. 10³ ist schon 1.000, 100³ eine Million.

Deshalb ist 1 m³ nicht 100, sondern 1.000.000 cm³ und fasst 1.000 Liter. Bei Flächen gilt dasselbe mit dem Quadrat: 1 m² sind 10.000 cm², weil 100 cm mal 100 cm gerechnet wird. Die Tabelle mit den Einheiten zeigt die wichtigsten Umrechnungen.

Wofür man Quadratzahlen braucht

Quadratzahlen stecken in jeder Flächenberechnung und im Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 gilt 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Handwerker prüfen mit diesem 3-4-5-Maß, ob eine Ecke genau rechtwinklig ist.

Auch der Body-Mass-Index teilt durch das Quadrat der Körpergröße. Und der Bremsweg wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit: Doppelt so schnell heißt viermal so langer Bremsweg, wie die Anhalteweg-Tabelle zeigt.